图像处理-Ch8-腐蚀膨胀+开闭运算
Ch9 形态学图像处理
四大算子相应性质。
腐蚀、膨胀、开闭之间的含义、关系
[TOC]
在二值图像中，所讨论的集合是二维整数空间\(\mathbb{Z}^{2}\)中的成员。\(\mathbb{Z}^{2}\)空间中，集合的每个元素都是一个二维向量(元组)，元组的坐标是图像中目标(前景)像素的坐标。
灰度数字图像可以表示为各个集合，这些集合的分量位于\(\mathbb{Z}^{3}\)空间中：前两个值是坐标，第三个值对应离散灰度值。
在图像处理中，我们使用两类像素集合的形态学：目标元素和结构元(SE)。目标定义为前景像素集合，结构元按照前景像素和背景像素确定。
预备知识(Preliminaries)
集合的元素关系
设\(A\)是\(\mathbb{Z}^{2}\)中的一个集合。如果\(a=(a_{1},a_{2})\)是\(A\)的一个元素，那么我们写作\(a\in A\)。
类似地，如果\(a\)不是\(A\)的元素，我们写作\(a\notin A\)。
没有元素的集合称为空集，用符号\(\varnothing\)表示。
集合间的关系
如果集合\(A\)的每个元素也是集合\(B\)的元素，那么\(A\)被称为\(B\)的子集，记为\(A\subseteq B\)。
两个集合\(A\)和\(B\)的并集，记为\(C = A\cup B\)，是属于\(A\)、\(B\)或两者的所有元素的集合。
两个集合\(A\)和\(B\)的交集，记为\(D = A\cap B\)，是属于\(A\)和\(B\)两者的所有元素的集合。
两个集合\(A\)和\(B\)如果没有共同元素，则称它们是不相交或互斥的。在这种情况下，\(A\cap B=\varnothing\)。
集合的运算
集合\(A\)的补集是不包含在\(A\)中的元素的集合，\(A^{c}=\{\omega|\omega\notin A\}\)。
两个集合\(A\)和\(B\)的差，记为\(A - B\)，定义为\(A - B=\{\omega|\omega\in A,\omega\notin B\}=A\cap B^{c}\)。
集合的变换：反射和变换都是相对于集合的原点定义的。
集合\(B\)的反射，记为\(\hat{B}\)，定义为\(\hat{B}=\{\omega|\omega = -b,b\in B\}\)。
集合\(A\)通过点\(z=(z_{1},z_{2})\)的平移，记为\((A)_{z}\)，定义为\((A)_{z}=\{c|c = a + z,a\in A\}\)。
膨胀和腐蚀(Dilation and Erosion)
膨胀扩展集合的组成部分、腐蚀缩小集合的组成部分。
腐蚀
一些通俗的解释：腐蚀的过程可以想象成图像中的目标“收缩”或“缩小”。具体来说，只有当结构元 B 完全覆盖在 A 的某个部分时，位置 z 才会被保留在腐蚀后的集合 \(A \ominus B\) 中。
对于\(\mathbb{Z}^{2}\)中的集合\(A\)和\(B\)，\(A\)被\(B\)腐蚀（erosion），记为\(A\ominus B\)，定义为： \[ A\ominus B=\{z|(B)_{z}\subseteq A\} \] B是结构元。即\(A\)被\(B\)腐蚀是所有点\(z\)的集合，使得\(B\)平移\(z\)后包含于\(A\)。
集合A元素是图像I的前景像素，背景显示白色。(c)中的虚线边界内的实线边界是B的原点的位移界限。在这个界限内，\((B)_z\subseteq A\).
(d)是一个加长的结构元，它腐蚀的结果如(e)所示，是一条线。
膨胀
膨胀的过程可以想象成图像中的目标“扩展”或“增长”。具体来说，结构元 B 在图像 A 上滑动，当结构元的某部分与 A 重叠时，将该位置 z 添加到膨胀后的集合 \(A \oplus B\) 中。
当\(A\)和\(B\)是\(\mathbb{Z}^{2}\)中的集合时，\(A\)被\(B\)膨胀（dilation），记为\(A\oplus B\)，定义为: \[
A\oplus B=\{z|(\hat{B})_{z}\cap A\neq\varnothing\}
\] 这个等式基于获取\(B\)关于原点的反射并将这个反射平移\(z\)。\(A\)被\(B\)膨胀就是所有位移\(z\)的集合，使得\(\hat{B}\)和\(A\)至少有一个元素重叠，即： \[
A\oplus B = \{z|[( \hat{B})_{z}\cap A]\subseteq A\}
\] 
膨胀与腐蚀的对偶关系
膨胀和腐蚀在集合补集和反射方面是相互对偶的，即: \[ (A\ominus B)^{c}=A^{c}\oplus\hat{B}\\ (A\oplus B)^c=A^c\ominus \hat B \] 上式表明：B对A的腐蚀是\(\hat B\)对\(A^c\)的膨胀的补集，vice versa。当结构元相对于其原点对称的时候，有\(\hat B=B\), 因此对偶性特别有用。
证明如下： \[ \begin{align} (A\ominus B)^{c}&=\{z|(B)_{z}\subseteq A\}^{c}\\ &=\{z|(B)_{z}\cap A^{c}=\varnothing\}^{c}\\ &=\{z|(B)_{z}\cap A^{c}\neq\varnothing\}\\ &=A^{c}\oplus\hat{B}\\\\ (A\oplus B)^c&=\{z|(\hat{B})_{z}\cap A\neq\varnothing\}^c\\ &=\{z|(\hat{B})_{z}\cap A=\varnothing\}\\ &=\{z|(\hat{B})_{z}\subseteq A^c\}\\ &=A^c\ominus \hat B \end{align} \]
开闭操作(Opening and Closing)
- 开运算常用于平滑物体的轮廓、断开狭窄的狭颈、消除细长的突出物；
- 闭运算同样平滑轮廓，但会弥合狭窄的断裂和细长的沟壑、消除小孔、填补轮廓中的缝隙。
开运算
集合\(A\)被结构元素\(B\)的开运算（opening），记为\(A\circ B\)，定义为： \[ A\circ B=(A\ominus B)\oplus B \] 即\(A\)被\(B\)的开运算就是\(A\)被\(B\)腐蚀后再被\(B\)膨胀的结果。
闭运算
集合\(A\)被结构元素\(B\)的闭运算（closing），记为\(A\cdot B\)，定义为： \[ A\cdot B=(A\oplus B)\ominus B \] 即\(A\)被\(B\)的闭运算就是\(A\)被\(B\)膨胀后再被\(B\)腐蚀的结果。
开运算的另一种定义: \[ A\circ B=\bigcup\{(B)_z|(B)_z\subseteq A\} \] 开运算和闭运算在集合补集和反射方面是相互对偶的，即： \[ (A\cdot B)^c=(A^c\circ\hat{B})\\ (A\circ B)^c=(A^c\cdot\hat{B}) \] 证明： $$ \[\begin{align}(A\circ B)^c&=\left[(A\ominus B)\oplus B\right]^c\\ &=(A\ominus B)^c\ominus \hat B\\ &=A^c\oplus \hat B\ominus \hat B\\ &=(A^c\cdot \hat B)\\\\ (A\cdot B)^c&=\left[(A\oplus B)\ominus B\right]^c\\ &=(A\oplus B)^c\oplus \hat B\\ &=A^c\ominus \hat B\oplus \hat B\\ &=(A^c\circ\hat{B}) \end{align}\] $$
性质
开运算的性质：
- \(A\circ B\)是\(A\)的子集（子图像）。
- 如果\(C\)是\(D\)的子集，那么\(C\circ B\)是\(D\circ B\)的子集。
- \((A\circ B)\circ B = A\circ B\)
闭运算的性质：
- \(A\)是\(A\cdot B\)的子集（子图像）。
- 如果\(C\)是\(D\)的子集，那么\(C\cdot B\)是\(D\cdot B\)的子集。
- \((A\cdot B)\cdot B = A\cdot B\)
由开闭运算的第三个性质可知，对一个集合多次进行开运算或闭运算，在操作一次后就不再有效果。
此图展示了用于得到开运算和闭运算结果的形态学运算。