图像处理-Ch8-腐蚀膨胀+开闭运算

Ch9 形态学图像处理

四大算子相应性质。

腐蚀、膨胀、开闭之间的含义、关系

[TOC]

在二值图像中，所讨论的集合是二维整数空间中的成员。空间中，集合的每个元素都是一个二维向量(元组)，元组的坐标是图像中目标(前景)像素的坐标。

灰度数字图像可以表示为各个集合，这些集合的分量位于空间中：前两个值是坐标，第三个值对应离散灰度值。

在图像处理中，我们使用两类像素集合的形态学：目标元素和结构元(SE)。目标定义为前景像素集合，结构元按照前景像素和背景像素确定。

预备知识(Preliminaries)

集合的元素关系

设是中的一个集合。如果是的一个元素，那么我们写作。

类似地，如果不是的元素，我们写作。

没有元素的集合称为空集，用符号表示。

集合间的关系

如果集合的每个元素也是集合的元素，那么被称为的子集，记为。

两个集合和的并集，记为，是属于、或两者的所有元素的集合。

两个集合和的交集，记为，是属于和两者的所有元素的集合。

两个集合和如果没有共同元素，则称它们是不相交或互斥的。在这种情况下，。

集合的运算

集合的补集是不包含在中的元素的集合，。

两个集合和的差，记为，定义为。

集合的变换：反射和变换都是相对于集合的原点定义的。

集合的反射，记为，定义为。

集合通过点的平移，记为，定义为。

膨胀和腐蚀(Dilation and Erosion)

膨胀扩展集合的组成部分、腐蚀缩小集合的组成部分。

腐蚀

一些通俗的解释：腐蚀的过程可以想象成图像中的目标“收缩”或“缩小”。具体来说，只有当结构元 B 完全覆盖在 A 的某个部分时，位置 z 才会被保留在腐蚀后的集合 中。

对于中的集合和，被腐蚀（erosion），记为，定义为：

$$A\ominus B=\{z|(B)_{z}\subseteq A\}$$

B是结构元。即被腐蚀是所有点的集合，使得平移后包含于。

集合A元素是图像I的前景像素，背景显示白色。(c)中的虚线边界内的实线边界是B的原点的位移界限。在这个界限内，.

(d)是一个加长的结构元，它腐蚀的结果如(e)所示，是一条线。

膨胀

膨胀的过程可以想象成图像中的目标“扩展”或“增长”。具体来说，结构元 B 在图像 A 上滑动，当结构元的某部分与 A 重叠时，将该位置 z 添加到膨胀后的集合 中。

当和是中的集合时，被膨胀（dilation），记为，定义为:

$$A\oplus B=\{z|(\hat{B})_{z}\cap A\neq\varnothing\}$$

这个等式基于获取关于原点的反射并将这个反射平移。被膨胀就是所有位移的集合，使得和至少有一个元素重叠，即：

$$A\oplus B = \{z|[( \hat{B})_{z}\cap A]\subseteq A\}$$

膨胀与腐蚀的对偶关系

膨胀和腐蚀在集合补集和反射方面是相互对偶的，即:

$$(A\ominus B)^{c}=A^{c}\oplus\hat{B}\\ (A\oplus B)^c=A^c\ominus \hat B$$

上式表明：B对A的腐蚀是对的膨胀的补集，vice versa。当结构元相对于其原点对称的时候，有, 因此对偶性特别有用。

证明如下：

$$\begin{align} (A\ominus B)^{c}&=\{z|(B)_{z}\subseteq A\}^{c}\\ &=\{z|(B)_{z}\cap A^{c}=\varnothing\}^{c}\\ &=\{z|(B)_{z}\cap A^{c}\neq\varnothing\}\\ &=A^{c}\oplus\hat{B}\\\\ (A\oplus B)^c&=\{z|(\hat{B})_{z}\cap A\neq\varnothing\}^c\\ &=\{z|(\hat{B})_{z}\cap A=\varnothing\}\\ &=\{z|(\hat{B})_{z}\subseteq A^c\}\\ &=A^c\ominus \hat B \end{align}$$

开闭操作(Opening and Closing)

• 开运算常用于平滑物体的轮廓、断开狭窄的狭颈、消除细长的突出物；
• 闭运算同样平滑轮廓，但会弥合狭窄的断裂和细长的沟壑、消除小孔、填补轮廓中的缝隙。

开运算

集合被结构元素的开运算（opening），记为，定义为：

$$A\circ B=(A\ominus B)\oplus B$$

即被的开运算就是被腐蚀后再被膨胀的结果。

闭运算

集合被结构元素的闭运算（closing），记为，定义为：

$$A\cdot B=(A\oplus B)\ominus B$$

即被的闭运算就是被膨胀后再被腐蚀的结果。

开运算的另一种定义:

$$A\circ B=\bigcup\{(B)_z|(B)_z\subseteq A\}$$

开运算和闭运算在集合补集和反射方面是相互对偶的，即：

$$(A\cdot B)^c=(A^c\circ\hat{B})\\ (A\circ B)^c=(A^c\cdot\hat{B})$$

证明：

$$\begin{align}(A\circ B)^c&=\left[(A\ominus B)\oplus B\right]^c\\ &=(A\ominus B)^c\ominus \hat B\\ &=A^c\oplus \hat B\ominus \hat B\\ &=(A^c\cdot \hat B)\\\\ (A\cdot B)^c&=\left[(A\oplus B)\ominus B\right]^c\\ &=(A\oplus B)^c\oplus \hat B\\ &=A^c\ominus \hat B\oplus \hat B\\ &=(A^c\circ\hat{B}) \end{align}$$

性质

开运算的性质：

• 是的子集（子图像）。
• 如果是的子集，那么是的子集。

闭运算的性质：

• 是的子集（子图像）。
• 如果是的子集，那么是的子集。

由开闭运算的第三个性质可知，对一个集合多次进行开运算或闭运算，在操作一次后就不再有效果。

此图展示了用于得到开运算和闭运算结果的形态学运算。