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As a recoder: notes and ideas.

图像处理-Ch3-频率域增强

Ch3 频率域处理(Image Enhancement in Frequency Domain)

[TOC]

FT :将信号表示成各种频率的正弦信号的线性组合。

频谱\(|F(u, v)| = \left[ R^2(u, v) + I^2(u, v) \right]^{\frac{1}{2}}\)

相位角:$ (u, v) = ^{-1}$

功率谱\(P(u, v) = |F(u, v)|^2 = R^2(u, v) + I^2(u, v)\)

  • \(I(u, v)\)\(F(u, v)\) 的虚部。
  • \(R(u, v)\)\(F(u, v)\) 的实部。

4.5 2-D Fourier Transform

4.5.1 2-D impulse

连续变量\(t\)\(z\)的冲激函数\(\delta(t,z)\)定义为: \[ \delta(t,z)=\begin{cases} 1,\quad t=z=0\\ 0,\quad \text{其他} \end{cases}\\ \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t,z)dtdz=1 \] 取样性质:在冲激处产生函数的值。 \[ \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t,z)\delta(t,z)dtdz=f(0,0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t,z)\delta(t-t_0,z-z_0)dtdz=f(t_0,z_0) \]

离散变量x和y,2-D离散冲激定义为(与连续冲激倒是定义一致,在冲激处值为1): \[ \delta(x,y)\begin{cases} 1,\quad x=y=0\\ 0,\quad \text{其他} \end{cases} \] 取样性质: \[ \sum_{x=-\infty}^{\infty}\sum_{y=-\infty}^{\infty}f(x,y)\delta(x,y)=f(0,0)\\ \sum_{x=-\infty}^{\infty}\sum_{y=-\infty}^{\infty}f(x,y)\delta(x-x_0,y-y_0)=f(x_0,y_0) \] ==处理有限维图像时,上述两个公式的限制改为图像的维数。==

4.5.2 2-D Fourier Transform Pair(变换对)

2-D Fourier Transform:令\(f(t,z)\)是两个连续变量\(t\),\(z\)的连续函数。 \[ F(\mu,v)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t,z)e^{-j2\pi(\mu t+vz)}dtdz\\ f(t,z)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(\mu,v)e^{j2\pi(\mu t+vz)}d\mu dv \] \(\mu, v\)是频率变量;\(t,z\)是连续空间变量。\(\mu,v\)定义了连续频率域。

二维盒式函数: \[ f(t,z)=\begin{cases} A,\quad -\frac T 2\le t\le\frac T 2,-\frac Z 2\le z\le \frac Z 2 \\ 0,\quad \text{其他} \end{cases} \]

对应的傅里叶变换如下: \[ F(\mu,v)&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t,z)e^{-j2\pi(\mu t+vz)}dtdz\\ &=\int_{-\frac T 2}^{\frac T 2}\int_{-\frac Z 2}^{\frac Z 2}Ae^{-j2\pi(\mu t+vz)}dtdz\\ &=ATZ[\frac{sin(\pi\mu T)}{\pi\mu T}][\frac{sin(\pi v Z )}{\pi v Z}] \] 联系到一维情况下连续函数的情况: \[ f(t)&=\begin{cases} A,\quad -\frac{w}{2}\le t\le \frac{w}{2}\\ 0,\quad \text{其他} \end{cases}\\ F(\mu)&=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2\pi\mu t}dt\\ &=\int_{-\frac w 2}^{\frac w 2}Ae^{-j2\pi\mu t}dt\\ &=-\frac{A}{2j\pi\mu}[e^{-j2\pi\mu t}]_{-\frac w 2}^{\frac w 2}\\ &=-\frac{A}{2j\pi\mu}(e^{-j\pi\mu w}-e^{j\pi\mu w})\\ &=\frac{A}{2j\pi\mu}(e^{j\pi\mu w}-e^{-j\pi\mu w}) \] 因为\(e^{j\theta}-e^{-j\theta}=(\cos\theta+j\sin\theta)-(\cos\theta-j\sin\theta)=2j\sin\theta\),所以: \[ F(\mu)&=\frac{A}{\pi\mu}\sin(\pi\mu w)\\ &=Aw\frac{\sin(\pi\mu w)}{\pi\mu w}\\ &=Aw sinc(\pi\mu w) \] 所以对于2-D情况下\(F(\mu,v)=ATZ[\frac{sin(\pi\mu T)}{\pi\mu T}][\frac{sin(\pi v Z )}{\pi v Z}]\),更易理解。看下图:右图是频谱的一部分,谱中0位置与T,Z成反比,当\(T\gt Z\),谱沿\(\mu\)轴更“收缩”。

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4.5.3 2-D Sampling

先介绍一下1-D sampling

因为时域与频域对称:\(f(t)\xrightarrow{\mathrm{FT}}F(\mu),F(t)\xrightarrow{\mathrm{FT}}f(-\mu)\) \[ \delta(t-t_0)\xrightarrow{\mathrm{FT}}e^{-j2\pi\mu t_0}, e^{-j2\pi\mu t_0}\xrightarrow{\mathrm{FT}}\delta(-\mu-t_0)=\delta(\mu+t_0) \] 冲激串: \[ S_{\Delta T}(t)=\sum^{\infty}_{k=-\infty}\delta(t-k\Delta T)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}C_ne^{j\frac{2\pi n}{\Delta T}t}\\ C_n=\frac{1}{\Delta T}\int_{-\frac{\Delta T}{2}}^{\frac{\Delta T}{2}}S_{\Delta T}(t)e^{-j\frac{2\pi n}{\Delta T}t}dt \] 当t=0时产生冲激(\([-\frac{\Delta T}{2},\frac{\Delta T}{2}]\)区间内积分仅包含t=0处冲激),此时\(C_n=\frac{1}{\Delta T}\int_{-\frac{\Delta T}{2}}^{\frac{\Delta T}{2}}S_{\Delta T}(t)e^{-j\frac{2\pi n}{\Delta T}t}dt=\frac{1}{\Delta T}\): \[ S_{\Delta T}(t)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}\frac{1}{\Delta T}e^{j\frac{2\pi n}{\Delta T}t} \]\(S_{\Delta T}(t)\)进行傅里叶变换: \[ S_{\Delta T}(t)\xrightarrow{\mathrm{FT}}\frac{1}{\Delta T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\mu-\frac{n}{\Delta T})\\ e^{\frac{j2\pi n}{\Delta T}t}\xrightarrow{\mathrm{FT}}\delta(\mu-\frac{n}{\Delta T}) \]

对于2-D冲激串被定义为: \[ S_{\Delta T}(t,z)=\sum^{\infty}_{m=-\infty}\sum^{\infty}_{n=-\infty}\delta(t-m\Delta T,z-n\Delta Z) \] \(\Delta T,\Delta Z\)是连续函数\(f(t,z)\)沿t轴和z轴的样本间的间隔。上式描述了沿两个轴无限扩展的一组周期冲激。

2-D带限函数:在\([-\mu_{\max},\mu_{\max}],[-v_{\max},v_{max}]\)建立的频率域矩阵外,\(f(t,z)\xrightarrow{\mathrm{FT}}0\)\[ F(\mu,v)=0, \quad |\mu|\ge\mu_{\max},|v|\ge v_{\max} \]

带限:当且仅当\(f(t,z)\)在两个坐标方向无限扩展的时候,\(f(t,z)\)一般才可能是带限的。

2-D取样定理:间隔满足\(\Delta T<\frac 1 {2\mu_{\max}},\Delta Z\lt \frac 1 {2v_{\max}}\)or\(\frac 1{\Delta T}\gt2\mu_{\max},\frac1{\Delta Z}\gt 2v_{\max}\),则连续带限函数f(t,z)可由其一组样本无误地复原(无信息丢失)。

4.5.5 2-D DFT, IDFT

书上的形式: \[ \text{DFT:}\\ F(u,v)=\sum^{M-1}_{x=0}\sum^{N-1}_{y=0}f(x,y)e^{-j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{M})}\\ \text{IDFT}:\\ f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum^{M-1}_{u=0}\sum^{N-1}_{v=0}F(u.v)e^{j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{M})} \] PPT中给出的形式(此时这个常数的平方根应包含在正变换和反变换前面,以便形成一个更为对称的变换对): \[ \text{DFT:}\\ F(u,v)=\frac{1}{MN}\sum^{M-1}_{x=0}\sum^{N-1}_{y=0}f(x,y)e^{-j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{M})}\\ \text{IDFT}:\\ f(x,y)=\sum^{M-1}_{u=0}\sum^{N-1}_{v=0}F(u.v)e^{j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{M})} \]

4.6 2-D DFT, IDFT的性质

  • 空间间隔与频率间隔:\(\Delta u,\Delta v\)\(\Delta T,\Delta Z\)成反比。

    对连续函数\(f(t,z)\)取样生成了一副数字图像\(f(x,y)\),它由t方向和z方向所取得\(M\times N\)个样本组成。令\(\Delta T,\Delta Z\)表示样本间的间隔。频率域对应的离散变量间的间隔分别为\(\Delta u=\frac{1}{M\Delta T},\Delta v=\frac{1}{N\Delta Z}\)

  • 平移(shifting):

    • 时间平移 (Time-shifting):图像在空间域中的平移(时移)会导致频域中乘以一个复指数因子。该复指数因子只影响相位,不影响幅度。 \[ \mathfrak{J}[f(x-x_0, y-y_0)] = F(u, v)e^{-j2\pi\left(\frac{ux_0}{M} + \frac{vy_0}{N}\right)} \]

    • 频率平移 (Frequency shifting):空间域中乘以一个复指数因子会导致频率平移。常用于将频域中心 (0, 0) 平移到图像中心 (如 fftshift 操作)。 \[ \mathfrak{J}[f(x, y)e^{-j2\pi\left(\frac{u_0x}{M} + \frac{v_0y}{N}\right)}] = F(u-u_0, v-v_0)\\ \mathfrak{J}[f(x, y)(-1)^{x+y}] = F(u-\frac{M}{2}, v-\frac{N}{2}) \]

  • 对称性(Symmetry):

    • 平均值 (Average):\(F(0, 0) = \frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x, y)\)
    • 共轭对称性 (Conjugate Symmetric):\(F(u, v) = F^*(-u, -v)\)
    • 对称性 (Symmetric):\(|F(u, v)| = |F(-u, -v)|\)
  • 分离性 (Separability): 二维傅里叶变换可以分解为两次一维傅里叶变换(行、列),这降低了计算复杂度,便于实现快速傅里叶变换(FFT)。 \[ F(u, v) = \frac{1}{N} \sum_{y=0}^{N-1} \left[\frac{1}{M} \sum_{x=0}^{M-1} f(x, y) e^{-j 2\pi \frac{ux}{M}}\right] e^{-j 2\pi \frac{vy}{N}} \]

  • 旋转 (Rotation):图像在空间域中的旋转会导致频域中相应的旋转。如果图像旋转了角度\(\theta_0\),其频谱也旋转相同角度。 \[ f(r, \theta + \theta_0)\iffF(\omega, \phi + \theta_0) \]

  • 周期性 (Periodicity): 离散傅里叶变换具有周期性,频域中的数据在\(M \times N\)范围内重复。 \[ f(x, y) = f(x + M, y) = f(x, y + N) = f(x + M, y + N)\\ F(u, v) = F(u + M, v) = F(u, v + N) = F(u + M, v + N) \]

  • 线性性 (Linearity): 傅里叶变换是线性运算,两个图像的加权组合在频域中仍是对应频域组合的加权和。 \[ \mathfrak{J}[af(x, y) + bg(x, y)] = a\mathfrak{J}[f(x, y)] + b\mathfrak{J}[g(x, y)] \]

  • 微分性 (Differentiation): 图像在空间域中的微分对应频域中的乘法运算。二阶微分对应\(-4\pi^2(u^2 + v^2)\),与拉普拉斯算子相关。 \[ \mathfrak{J}\left[\frac{\partial^n f(x, y)}{\partial x^n}\right] = (j2\pi u)^n \mathfrak{J}[f(x, y)]\\ \mathfrak{J}\left[\nabla^2 f(x, y)\right] = -4\pi^2(u^2 + v^2)F(u, v) \]

  • 卷积(Convolution):\(\mathfrak{J}[f(x, y) * g(x, y)] = F(u, v)G(u, v)\)

  • 相关(Correlation):\(\mathfrak{J}[f(x, y) \circ g(x, y)] = F(u, v) \cdot G^*(u, v)\)

  • 相似性 (Similarity): 图像在空间域中发生缩放时,频域数据会发生相反的缩放,并且幅度会按照缩放比例调整。 \[ \mathfrak{J}[f(ax, by)] = \frac{1}{|ab|} F\left(\frac{u}{a}, \frac{v}{b}\right) \]

4.6.1 总结

名称 表达式
1) 离散傅里叶变换 (DFT) of\(f(x, y)\) \(F(u, v) = \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x, y)e^{-j2\pi\left(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N}\right)}\)
2) 逆离散傅里叶变换 (IDFT) of\(F(u, v)\) \(f(x, y) = \frac{1}{MN} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u, v)e^{j2\pi\left(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N}\right)}\)
3) 频谱 \(|F(u, v)| = \sqrt{R^2(u, v) + I^2(u, v)}\), 其中\(R = \text{Real}(F), I = \text{Imag}(F)\)
4) 相位角 \(\phi(u, v) = \tan^{-1}\left[\frac{I(u, v)}{R(u, v)}\right]\)
5) 极坐标表示 \(F(u, v) = |F(u, v)| e^{j\phi(u, v)}\)
6) 功率谱 \(P(u, v) = |F(u, v)|^2\)
7) 平均值 \(\bar{f} = \frac{1}{MN} \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x, y) = \frac{1}{MN} F(0, 0)\)
8) 周期性 (\(k_1, k_2\) 为整数) \(\begin{aligned} F(u, v) &= F(u+k_1M, v+k_2N) \\ f(x, y) &= f(x+k_1M, y+k_2N) \end{aligned}\)
9) 卷积 \((f \ast h)(x, y) = \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{n=0}^{N-1} f(m, n)h(x-m, y-n)\)
10) 相关 \((f \star h)(x, y) = \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{n=0}^{N-1} f(m, n)h(x+m, y+n)\)
11) 可分性 2D DFT 可以通过对图像的每一行(或列)计算 1D DFT,再对每一列(或行)计算 1D DFT 得到。详见 Section 4.11。
12) 使用DFT算法计算 IDFT \(MNf^*(x, y) = \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F^*(u, v)e^{j2\pi\left(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N}\right)}\)

名称 傅里叶变换对 (DFT Pairs)
1) 对称性质 参见 Table 4.1
2) 线性 \(af_1(x, y) + bf_2(x, y) \iff aF_1(u, v) + bF_2(u, v)\)
3) 平移 (通用) \(\begin{aligned} f(x, y)e^{j2\pi(ux_0/M + vy_0/N)} &\iff F(u-u_0, v-v_0) \\ f(x-x_0, y-y_0) &\iff F(u, v)e^{-j2\pi(ux_0/M + vy_0/N)} \end{aligned}\)
4) 频域中心移动 (M/2, N/2) \(\begin{aligned} f(x, y)(-1)^{x+y} &\iff F(u-M/2, v-N/2) \\ f(x-M/2, y-N/2) &\iff F(u, v)(-1)^{u+v} \end{aligned}\)
5) 旋转 \(\begin{aligned} f(r, \theta + \theta_0) &\iff F(\omega, \phi + \theta_0) \\ r &= \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \omega = \sqrt{u^2 + v^2}, \\ \theta &= \tan^{-1}(y/x), \quad \phi = \tan^{-1}(v/u) \end{aligned}\)
6) 卷积定理 † \(\begin{aligned} (f \ast h)(x, y) &\iff (F \cdot H)(u, v) \\ (f \cdot h)(x, y) &\iff (1/MN)[(F \ast H)(u, v)] \end{aligned}\)
7) 相关定理 † \(\begin{aligned} (f \star h)(x, y) &\iff (F^* \cdot H)(u, v) \\ (f^* \cdot h)(x, y) &\iff (1/MN)[(F \star H)(u, v)] \end{aligned}\)
8) 离散单位脉冲 \(\delta(x, y) \iff 1 \iff MN\delta(u, v)\)
9) 矩形 \(\text{rec}[a, b] \iff \frac{\sin(\pi ua)}{\pi ua} \frac{\sin(\pi vb)}{\pi vb} e^{-j(ua+vb)}\)
10) 正弦 \(\sin(2\pi u_0/M + 2\pi v_0/N) \iff j\frac{MN}{2}[\delta(u+u_0, v+v_0) - \delta(u-u_0, v-v_0)]\)
11) 余弦 \(\cos(2\pi u_0/M + 2\pi v_0/N) \iff \frac{MN}{2}[\delta(u+u_0, v+v_0) + \delta(u-u_0, v-v_0)]\)
12) 微分 (假设边界条件为0) \(\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &\iff j(2\pi u/M)F(u, v) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} &\iff -(2\pi u/M)^2F(u, v) \end{aligned}\)
13) 高斯 \(A2\pi\sigma^2 e^{-2\pi^2\sigma^2(u^2+v^2)} \iff Ae^{-(u^2+v^2)/\sigma^2}\)

:傅里叶变换对对于连续变量可以进一步推导(以\(t\)\(z\) 表示空间变量,\(u\)\(v\) 表示频率变量),这些结果可以通过采样离散变量用于 DFT 工作。

2-D Discrete Fourier Transform

2-D Fourier Transform

定义 说明
傅里叶级数 任何周期性重复的函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦之和,每个乘以不同的系数。
傅里叶变换 即使不是周期性的函数(但其曲线下面积是有限的)也可以表示为正弦和/或余弦乘以加权函数的积分。
频域 指图像的二维离散傅里叶变换的平面。
傅里叶变换的目的 将信号表示为各种频率的正弦信号的线性组合。

2-D Continuous Fourier Transform

\[ j=\sqrt{-1},\quad e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta \]

1-D傅里叶变换与逆: \[ F(u)=\int^\infty_{-\infty}f(x)e^{-j2\pi u x}dx\\ f(x)=\int^\infty_{-\infty}F(u)e^{j2\pi u x}du \] 2-D傅里叶变换与逆: \[ F(u,v)=\int^\infty_{-\infty}\int^\infty_{-\infty}f(x,y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy\\ f(x,y)=\int^\infty_{-\infty}\int^\infty_{-\infty}F(u,v)e^{j2\pi(ux+vy)}dudv \]

2-D Discrete Fourier Transform

1-D Discrete Fourier Transform

1-D离散傅里叶变换和逆是:\(u,x = 0,1,\dots,M-1\) \[ F(u)=\frac 1 M\sum^{M-1}_{x=0}f(x)e^{-j\frac{2\pi ux}M}\\ f(x)=\sum^{M-1}_{u=0}F(u)e^{j\frac{2\pi ux}M} \] 因为\(e^{j\theta}=\cos\theta+\sin\theta\),离散傅里叶变换可以被写成: \[ F(u)=\frac 1 M\sum^{M-1}_{x=0}f(x)\left[\cos\frac{2\pi ux}M-j\sin\frac{2\pi ux}M\right] \]

  • 频率(时间)域:\(F(u)\)的值所在的域(\(u\) 的值);因为\(u\)决定了变换分量的频率。
  • 频率(时间)分量:\(F(u)\)\(M\)个项中的每一个。

极坐标表示(谱=函数) \[ F(u)=\vert F(u)\vert e^{j\phi(u)} \]

  • \(F(u)=\left[R(u)^2+I(u)^2\right]^{\frac 1 2}\): 幅度谱,用于描述频率成分的强度。
  • \(\phi(u)=\tan^{-1}\left(\frac{I(u)}{R(u)}\right)\) :相位谱,用于描述频率成分的相位信息。
  • \(R(u)\)是频域函数的实部,\(I(u)\)是频域函数的虚部。

功率谱:\(P(u)=\vert F(u)\vert^2\), 用于量化图像在不同频率处的能量分布,是幅度谱的平方。

2-D Discrete Fourier Transform

image-20241221110525939 \[ F(u,v)=\frac{1}{MN}\sum^{M-1}_{x=0}\sum^{N-1}_{y=0}f(x,y)e^{-j2\pi\left(\frac{ux}M+\frac{vy}N\right)}\\ f(x,y)=\sum^{M-1}_{x=0}\sum^{N-1}_{y=0}F(u,v)e^{j2\pi\left(\frac{ux}M+\frac{vy}N\right)} \]

  • \(\vert F(u,v)\vert=\left[R^2(u,v)^2+I^2(u,v)\right]^{\frac 1 2}\): 幅度谱
  • \(\phi(u,v)=\tan^{-1}\left[\frac{I(u,v)}{R(u,v)}\right]\): 相位谱
  • \(P(u,v)=\vert F(u,v)\vert^2\): 功率谱

二维离散傅里叶变换的性质(Properties of 2-D DFT)

  1. 平移(shifting):

    • 时间平移 (Time-shifting):图像在空间域中的平移(时移)导致幅度谱不变、相位谱变化。 \[ \begin{align} \mathfrak{J}[f(x-x_0, y-y_0)]&= F(u, v)e^{-j2\pi\left(\frac{ux_0}{M} + \frac{vy_0}{N}\right)}\\ f(x-x_0,y-y_0)&=\sum^{M-1}_{x=0}\sum^{N-1}_{y=0}F(u,v)e^{j2\pi\left(\frac{ux-ux_0}M+\frac{vy-vy_0}N\right)}\\&=\sum^{M-1}_{x=0}\sum^{N-1}_{y=0}F(u,v)e^{j2\pi\left(\frac{ux}M+\frac{vy}N\right)}e^{-j2\pi\left(\frac{ux_0}{M} + \frac{vy_0}{N}\right)}\\ \mathfrak{J}[f(x-x_0, y-y_0)]&= F(u, v)e^{-j2\pi\left(\frac{ux_0}{M} + \frac{vy_0}{N}\right)} \end{align} \]

    • 频率平移 (Frequency shifting):空间域中乘以一个复指数因子会导致频率平移。式2常用于将频域中心 (0, 0) 平移到图像中心 (如 fftshift 操作)。 \[ \mathfrak{J}[f(x, y)e^{j2\pi\left(\frac{u_0x}{M} + \frac{v_0y}{N}\right)}] = F(u-u_0, v-v_0)\\ \mathfrak{J}[f(x, y)(-1)^{x+y}] = F(u-\frac{M}{2}, v-\frac{N}{2})\\ proof.\ u_0=\frac M 2,v_0=\frac N2\\ \mathfrak{J}[f(x, y)e^{j2\pi\left(\frac{u_0x}{M} + \frac{v_0y}{N}\right)}] =\mathfrak{J}[f(x, y)e^{j\pi(x+y)}]=\cos {\pi(x+y)}+j\sin {\pi(x+y)}=(-1)^{x+y}\\ \]

  2. 对称性(Symmetry):

    • 平均值 (Average):\(F(0, 0) = \frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x, y)\) 是直流量,相当于中心点=平均值。
    • 共轭对称性 (Conjugate Symmetric):\(F(u, v) = F^*(-u, -v)\)
    • 对称性 (Symmetric):\(|F(u, v)| = |F(-u, -v)|\)
  3. 分离性 (Separability): 二维傅里叶变换可以分解为两次一维傅里叶变换(行、列),这降低了计算复杂度,便于实现快速傅里叶变换(FFT)。 \[ F(u, v) = \frac{1}{N} \sum_{y=0}^{N-1} \left[\frac{1}{M} \sum_{x=0}^{M-1} f(x, y) e^{-j 2\pi \frac{ux}{M}}\right] e^{-j 2\pi \frac{vy}{N}} \]

  4. 旋转 (Rotation):图像在空间域中的旋转会导致频域中相应的旋转。如果图像旋转了角度\(\theta_0\),其频谱也旋转相同角度。 \[ f(r, \theta + \theta_0)\iff F(\omega, \phi + \theta_0) \]

  5. 周期性 (Periodicity): 离散傅里叶变换具有周期性,频域中的数据在\(M \times N\)范围内重复。 \[ f(x, y) = f(x + M, y) = f(x, y + N) = f(x + M, y + N)\\ F(u, v) = F(u + M, v) = F(u, v + N) = F(u + M, v + N) \]

  6. 线性性 (Linearity): 傅里叶变换是线性运算,两个图像的加权组合在频域中仍是对应频域组合的加权和。 \[ \mathfrak{J}[af(x, y) + bg(x, y)] = a\mathfrak{J}[f(x, y)] + b\mathfrak{J}[g(x, y)] \]

  7. 微分性 (Differentiation): 图像在空间域中的微分对应频域中的乘法运算。二阶微分对应\(-4\pi^2(u^2 + v^2)\),与拉普拉斯算子相关。 \[ \mathfrak{J}\left[\frac{\partial^n f(x, y)}{\partial x^n}\right] = (j2\pi u)^n\mathfrak{J}[f(x, y)]= (j2\pi u)^n F(u,v)\\ \mathfrak{J}\left[\nabla^2 f(x, y)\right] = -4\pi^2(u^2 + v^2)F(u, v) \]

  8. 卷积(Convolution):\(\mathfrak{J}[f(x, y) * g(x, y)] = F(u, v)G(u, v)\)

  9. 相关(Correlation):\(\mathfrak{J}[f(x, y) \circ g(x, y)] = F(u, v) \cdot G^*(u, v)\)

  10. 相似性 (Similarity): 图像在空间域中发生缩放时,频域数据会发生相反的缩放,并且幅度会按照缩放比例调整。 \[ \mathfrak{J}[f(ax, by)] = \frac{1}{|ab|} F\left(\frac{u}{a}, \frac{v}{b}\right) \]

一些常用的傅里叶变换对 (FT Pairs)

  1. 单位冲激函数(\(\delta\)):\(\delta(x,y)\leftrightarrow 1\)

    \(\delta\)函数与其他函数卷积,就等于这个函数本身。 \[ \delta(x)*g(x)\iff F(\delta(x))G(x)\\ g(x)\iff 1\times G(x) \]

  2. 高斯函数: 空间域是高斯函数,频率域仍是高斯函数,但与空间域的标准差成反比。 \[ A2\pi\sigma^2 \exp(-2\pi^2\sigma^2(x^2 + y^2))\iff A \exp\left(-\frac{u^2 + v^2}{2\sigma^2}\right) \] 高斯函数的FT仍是高斯函数,中心在\((0,0)\)频率。 \[ \exp(-\pi(x^2 + y^2))\iff\exp(-\pi(u^2 + v^2)) \]

  3. 正弦函数: 空间域是正弦函数,频率域则是两个对称的冲激函数,分别位于\((u_0,v_0),(-u_0,-v_0)\), 但幅度带有\(j\)和相反的符号。 \[ \sin(2\pi u_0x + 2\pi v_0y)\iff\frac{1}{2} j \left[ \delta(u+u_0, v+v_0) - \delta(u-u_0, v-v_0) \right] \]

  4. 余弦函数: 空间域是余弦函数,频率域则是两个对称的冲激函数,分别位于\((u_0,v_0),(-u_0,-v_0)\). \[ \cos(2\pi u_0x + 2\pi v_0y)\iff\frac{1}{2} \left[ \delta(u+u_0, v+v_0) + \delta(u-u_0, v-v_0) \right] \]

空间域中的正弦信号也在频域中产生两个对称的冲激,但其相位不同于余弦。

Filtering in the Frequency Domain

卷积定理:\(f(x, y) * h(x, y)\)\(F(u, v) H(u, v)\)组成傅里叶变换对。左边的表达式(空间域卷积)可以通过对右边表达式进行傅里叶反变换获得;右边的表达式可以通过对左式进行正向傅里叶变换获得。频率域的卷积被简化为空间域的乘法,反之亦然。 \[ \mathfrak{J}[f(x, y) * h(x, y)]= F(u, v) H(u, v)\\ \mathfrak{J}[f(x, y)h(x, y)] =F(u, v)* H(u, v) \]

相关定理: \[ \mathfrak{J}[f(x, y) \star h(x, y)]= F^*(u, v) H(u, v)\\ \mathfrak{J}[f^*(x, y)h(x, y)] =F(u, v)\star H(u, v)\\\\ \mathfrak{J}[f(x, y) \star f(x, y)]=\vert F(u, v) \vert^2\\ \mathfrak{J}[\vert f(x, y)\vert^2] =F(u, v)\star F(u, v) \] 伸缩性质: \[ \mathfrak{J}[f(ax, by)]= \frac{1}{\vert ab\vert}F(\frac u a, \frac v b) \]

【能量保持 · 帕斯瓦尔定理】如果离散的信号是一维的,对每个信号平方求和,再进行傅里叶变换,频域上也能得到一致的平方和。信号再时域和频域之间能量不变。

频域滤波

基本思想 :通过选择一个特定的滤波器传递函数\(H(u, v)\)来修改图像的傅里叶变换\(F(u, v)\)

基于卷积定理的频域滤波实现:

  1. 通过傅里叶变换将图像从空间域\(f(x, y)\)转换到频域\(F(u, v)\)
  2. 在频域中对傅里叶变换结果\(F(u, v)\)乘以滤波器\(H(u, v)\)
  3. 通过傅里叶逆变换将结果转换回空间域,得到滤波后的图像\(\mathfrak{J}^{-1}\{H(u, v)F(u, v)\}\)

Wraparound Error(混叠误差): 在频域卷积时,完整信号可以被切分成多个简单信号相加。那么这些简单信号在交叠处:究竟是取信号1的值、还是取信号2的值呢?

解决方法: 对图像进行零填充 (Padding),扩展信号范围,避免非零部分的干扰。就是改变简单信号的周期,让其周期=完整信号的周期,然后会有一些部分,然后全部=0(这个就叫零填充)。

从空域滤波器中获取频域滤波器(Obtaining Frequency Domain Filters from Spatial Filters)

Q: Why?

A: 1.效率 2.有意义的比较

理想低通滤波器(ILPF):

\[ H(u,v)=\begin{cases} 1, \quad D(u,v)\le D_0\\ 0,\quad D(u,v)> D_0\\ \end{cases} \] 其中\(D(u,v)\)是从点\((u,v)\)到频率矩阵中心\((0,0)\)的距离: \[ D(u,v)=\sqrt{\left(u-\frac M 2\right)^2+\left(v-\frac N 2\right)^2} \] image-20241222214513984

巴斯沃斯低通滤波器(Butterworth Lowpass Filters, BLPFs): \[ H(u,v)=\frac{1}{1+\left[\frac{D(u,v)}{D_0}\right]^{2n}} \] 随n增大,会越来越趋近于理想的低通滤波器。当\(D(u,v)=D_0,\frac{D(u,v)}{D_0}=1,1^n=1\),因此永远过0.5的点。

image-20241222214442791

高斯低通滤波器( Gaussian Lowpass Filters, GLPFs) \[ H(u,v)=\exp\{\frac{-D^2(u,v)}{2D^2_0}\} \] image-20241222214703839

频率锐化滤波器(Sharpening Frequency Domain Filters)

通用高通频域滤波器: \[ H_{hp}(u,v)=1-H_{lp}(u,v) \]

高通滤波器 公式
理想高通滤波器 \(H(u, v) = \begin{cases} 0 & \text{if } D(u, v) \leq D_0 \\ 1 & \text{if } D(u, v) > D_0 \end{cases}\)
巴斯沃斯高通滤波器 \(H(u, v) = \frac{1}{1 + [D_0/D(u, v)]^{2n}}\)
高斯高通滤波器 \(H(u, v) = 1 - e^{-D^2(u, v)/2D_0^2}\)
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