差分方程和虫口模型

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Fibonacci数列

$a_0=0,a_1=1,a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$

假设一开始有一万只兔子，兔子有两个月的成熟期，每一个月一对兔子可以生一对兔子，且==假设出生的兔子都存活==，兔子的寿命为6个月。那么求解一年后有多少只兔子？

行是每个月新出生的兔子数、列是在该月还存活的兔子数。

$$
\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)
$$

求解差分方程不现实，因此引入对差分方程的定性分析，如找到解的性质等。

平衡解：若有$x^*$，使得$x^*=f(x^*)$，则称$x^*$为方程$x(t+1)=f(x(t))$的平衡解。

就是虽然不知道后面的方程是什么，但是解释一下平衡解的意思：

指$x^{}$在 f 的作用（or 映射）下还是保持原$x^$点不发生变动。

最终平衡解：存在如下的$x^*$，
$$
x_r=x^\
x_{r-1}\ne x^
$$

此处的最终平衡解指的是：所有的$x_n$都可以通过迭代得到$x^*$。

周期解：存在正整数T，使得$x(t+T)=x(t)$。

不是迭代一次，而是迭代了T次。

平衡解的稳定性：

当$x^*$附近的解都在$x^*$的附近，则是稳定的；否则不稳定。

一些概念：

一个栗子：

如何不通过相图法来得到这个点是否吸引？

设$f(x)$有三阶连续导数，$x^{*}$是平衡点。

当$|f’(x^*)|\lt 1$：$x^{*}$ 渐近稳定。

当$|f’(x^*)|\gt 1$：$x^{*}$ 不稳定。

周期解：

$f(x)$的 $n$ 周期点 $x^*$ 是指 $f^n(x)=x$ 的解，满足 $f^n(x)=x$ 的最小正整数 $n$ 称为 $x$ 的真周期。