数模日记1
差分方程和虫口模型
[TOC]
Fibonacci数列
\(a_0=0,a_1=1,a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}\)
兔子问题
假设一开始有一万只兔子，兔子有两个月的成熟期，每一个月一对兔子可以生一对兔子，且==假设出生的兔子都存活==，兔子的寿命为6个月。那么求解一年后有多少只兔子？
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 4 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | |||
| 5 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | ||||
| 6 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 0 | |||||
| 7 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | ||||||
| 8 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | |||||||
| 9 | 11 | 11 | 11 | 11 | ||||||||
| 10 | 18 | 18 | 18 | |||||||||
| 11 | 29 | 29 | ||||||||||
| 12 | 47 | |||||||||||
| 总数 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 12 | 19 | 30 | 48 | 77 | 124 |
| 原总数 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 |
| 每月死去的兔子 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 4 | 7 | 12 | 20 |
行是每个月新出生的兔子数、列是在该月还存活的兔子数。
差分方程
\[ \Delta f(x)=f(x+1)-f(x) \]
- \(\Delta f(x)\)是\(f(x)\)的差分。\(\Delta\)称为差分算子。
- \(E\ f(x)=f(x+1)\)称为\(f(x)\)在x的位移，\(E\)为位移算子。
- \(I\ f(x)=f(x)\)，\(I\)称为恒等算子。
求解差分方程不现实，因此引入对差分方程的定性分析，如找到解的性质等。
平衡解及其稳定性
平衡解：若有\(x^*\)，使得\(x^*=f(x^*)\)，则称\(x^*\)为方程\(x(t+1)=f(x(t))\)的平衡解。
就是虽然不知道后面的方程是什么，但是解释一下平衡解的意思：
指\(x^{*}\)在 f 的作用（or 映射）下还是保持原\(x^*\)点不发生变动。
最终平衡解：存在如下的\(x^*\)， \[ x_r=x^*\\ x_{r-1}\ne x^* \]
此处的最终平衡解指的是：所有的\(x_n\)都可以通过迭代得到\(x^*\)。
周期解：存在正整数T，使得\(x(t+T)=x(t)\)。
不是迭代一次，而是迭代了T次。
平衡解的稳定性：
当\(x^*\)附近的解都在\(x^*\)的附近，则是稳定的；否则不稳定。
一些概念：
一个栗子：
如何不通过相图法来得到这个点是否吸引？
设\(f(x)\)有三阶连续导数，\(x^{*}\)是平衡点。
当\(|f'(x^*)|\lt 1\)：\(x^{*}\) 渐近稳定。
当\(|f'(x^*)|\gt 1\)：\(x^{*}\) 不稳定。
周期解：
\(f(x)\)的 \(n\) 周期点 \(x^*\) 是指 \(f^n(x)=x\) 的解，满足 \(f^n(x)=x\) 的最小正整数 \(n\) 称为 \(x\) 的真周期。
虫口模型与倍周期分支
