数模日记1

差分方程和虫口模型

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Fibonacci数列

兔子问题

假设一开始有一万只兔子，兔子有两个月的成熟期，每一个月一对兔子可以生一对兔子，且==假设出生的兔子都存活==，兔子的寿命为6个月。那么求解一年后有多少只兔子？

月份	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0
2		0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
3			1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
4				1	1	1	1	1	1	0	0	0
5					2	2	2	2	2	2	0	0
6						3	3	3	3	3	3	0
7							4	4	4	4	4	4
8								7	7	7	7	7
9									11	11	11	11
10										18	18	18
11											29	29
12												47
总数	1	1	2	3	5	8	12	19	30	48	77	124
原总数	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144
每月死去的兔子	0	0	0	0	0	0	1	2	4	7	12	20

行是每个月新出生的兔子数、列是在该月还存活的兔子数。

差分方程

$$\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$$

• 是的差分。称为差分算子。
• 称为在x的位移，为位移算子。
• ，称为恒等算子。

求解差分方程不现实，因此引入对差分方程的定性分析，如找到解的性质等。

平衡解及其稳定性

平衡解：若有$x^x^=f(x^)x^x(t+1)=f(x(t))$的平衡解。

就是虽然不知道后面的方程是什么，但是解释一下平衡解的意思：

​ 指$x^{}x^$点不发生变动。

最终平衡解：存在如下的，

$$x_r=x^*\\ x_{r-1}\ne x^*$$

此处的最终平衡解指的是：所有的都可以通过迭代得到。

周期解：存在正整数T，使得。

不是迭代一次，而是迭代了T次。

平衡解的稳定性：

当$x^x^$的附近，则是稳定的；否则不稳定。

一些概念：

一个栗子：

如何不通过相图法来得到这个点是否吸引？

设有三阶连续导数，是平衡点。

当$|f’(x^)|\lt 1x^{}$ 渐近稳定。

当$|f’(x^)|\gt 1x^{}$ 不稳定。

周期解：

的 周期点 是指 的解，满足 的最小正整数 称为 的真周期。

虫口模型与倍周期分支